Federico Laudisa

Università di Milano-Bicocca

NON LOCALITÀ QUANTISTICA

Istituto di Filosofia, Università di Urbino,

25-26 febbraio 2003

Ø Filosofia della fisica: i concetti e i problemi

Ø Le interpretazioni della meccanica quantistica: dov’è il problema?

Ø Realismo e meccanica quantistica: lo statuto della condizione di realtà nell’argomento di EPR

Ø Non località e disuguaglianza di Bell

Ø Intermezzo: causalità e meccanica quantistica

Ø Non località, causalità e invarianza di Lorentz

filosofia della fisica: i concetti e i problemi

· Da un lato la fisica costruisce quadri teorici generali, che aspirano ad essere rappresentazioni - immagini, modelli, ecc. - vere del mondo fisico (o vere in senso approssimato). La filosofia della fisica indaga allora, con i propri strumenti di analisi, le caratteristiche logiche, epistemologiche e metafisiche di queste rappresentazioni (immagini, modelli, ...).

· Dall’altro lato, i risultati delle teorie fisiche contemporanee si trovano ad avere profonde implicazioni concettuali su nozioni (come spazio, tempo, causalità, identità, materia) che, fino all’epoca della rivoluzione scientifica del XVII secolo, ricadevano interamente nell’ambito della filosofia e la cui discussione si rifaceva a una tradizione filosofica autonoma. Naturalmente indagini filosofiche di questo tipo possono risultare significative soltanto a condizione di tenere nel dovuto conto ciò che la fisica ci dice su quei concetti e quei problemi.

“Se il metodo filosofico del nostro tempo viene messo a confronto con il metodo dei grandi filosofi sistematici del diciassettesimo e diciottesimo secolo, appare evidente una differenza fondamentale negli atteggiamenti rispettivi verso le scienze naturali. I filosofi classici intrattenevano strette relazioni con la scienza del loro tempo; alcuni di loro, come Cartesio e Leibniz, furono essi stessi matematici e fisici di rilievo. In tempi più recenti la filosofia e la scienza sono diventate estranee l’una all’altra, una situazione che ha portato a una improduttiva tensione tra i due gruppi. I filosofi, la cui formazione professionale viene normalmente acquisita mediante lo studio di problemi storici e filologici, accusano gli scienziati di un’eccessiva specializzazione e si rivolgono piuttosto ai problemi metafisici; agli scienziati, dal canto loro, sfugge nella filosofia il trattamento di problemi epistemologici che, sebbene risolti da Leibniz o Kant alla luce della scienza del loro tempo, richiedono un’analisi aggiornata alla luce della scienza contemporanea. Questa estraneità si esprime in un disprezzo reciproco, nel quale ciascuna parte non riesce a comprendere gli scopi dell’attività dell’altra.

[...] Se la filosofia del nostro tempo, di orientamento speculativo, nega alla scienza contemporanea il suo carattere filosofico, se considera la teoria della relatività o la teoria degli insiemi come dei contributi privi di interesse filosofico e appartenenti a scienze particolari, questo giudizio esprime soltanto l’incapacità a percepire il contenuto filosofico del moderno pensiero scientifico.”

H. Reichenbach, Filosofia dello spazio e del tempo , 1927

“Nel noto libro The Nature of the Physical World (1928) Eddington ha detto che sulla porta d’entrata della nuova fisica si dovrebbe mettere un cartello con la scritta «Trasformazioni architettoniche in corso - l’ingresso è severamente vietato a persone non autorizzate.» E bisognerebbe anche raccomandare al portinaio di non lasciar entrare in nessun caso «filosofi curiosi». Esistono di sicuro ancora oggi molti fisici che saranno d’accordo con questo ammonimento. Ma dipende precisamente dall’essenza e dal compito della filosofia che alla lunga essa non possa dar retta a tali avvertimenti. Non è semplice curiosità quanto la induce a occuparsi sempre di quello che accade tra le baracche e i recinti delle singole scienze. Senza tali occhiate essa non potrebbe soddisfare al proprio ideale: all’ideale dell’analisi metodica e della fondazione gnoseologico-critica. Così avviene che essa debba sempre trascurare di nuovo i confini drizzati fra le singole scienze e indispensabili dal lato della «prassi» della conoscenza, di una giusta e sana divisione del lavoro. Non è lecito che questi confini divengano barriere ostacolanti per la teoria come tale. Essa li deve varcare - anche con il pericolo che da questa trasgressione sorgano conflitti e controversie di confine.”

E. Cassirer, Determinismo e indeterminismo nella fisica moderna, 1937

le interpretazioni della meccanica quantistica:

dov’è il problema?

L’uso della nozione generale di ‘interpretazione’ presuppone che esista un insieme di elementi logico-linguistici al quale è necessario conferire un significato non ambiguo.

Cosa si intende allora quando si fa riferimento alla necessità di ‘interpretare’ la meccanica quantistica, una teoria fisica maneggiata da migliaia di scienziati di tutto il mondo per oltre un secolo e con straordinario successo sperimentale?

“A satisfactory interpretation of quantum mechanics would provide a way of understanding the central notions of the theory which permits a clear and exact statement of its key principles. It would include a demonstration that, with this understanding, quantum mechanics is a consistent, empirically adequate and explanatorily powerful theory. And it would give a convincing and natural resolution of the «paradoxes». I should like to add a further constraint: that a satisfactory interpretation of quantum mechanics should make it clear what the world would be like if quantum mechanics were true.”

R. Healey, The Philosophy of Quantum Mechanics. An Interactive Interpretation, 1989

“It would be foolish to expect that the next basic development in theoretical physics will yield an accurate and final theory. But it is interesting to speculate on the possibility that a future theory will not be intrinsically ambiguous and approximate. Such a theory could not be fundamentally about «measurements», for that would again imply incompleteness of the system and unanalyzed interventions from outside. Rather it should again become possible to say of a system not that such and such may be observed to be so but that such and such be so. The theory would not be about «observables» but about «beables». [...]

The idea that quantum mechanics is primarily about «observables» is only tenable when such beables are taken for granted. Observables are made out of beables.”

J.S. Bell, Subject and Object, 1973

Interpretazione della MQ

¯

Dose ‘minimale’ di ontologia

“ This primitive ontology is what the theory is fundamentally about”

D. Dürr, S. Goldstein, N. Zanghì, Bohmian mechanics as the foundation of quantum mechanics, 1996

chiarezza ® È necessario specificare quali siano gli elementi fondamentali del dominio di realtà che la teoria dovrebbe descrivere (i ‘beables’ di John Bell).

esattezza ® Questa specificazione non deve presupporre, per essere dotata di significato, il ricorso a processi di osservazione (cosciente o meno).

Naturalmente, non tutti sono d’accordo su questo punto preliminare:

“L’espressione «interpretazione di Copenhagen» suona come se esistessero varie interpretazioni della meccanica quantistica. Ne esiste soltanto una. Esiste un solo modo nel quale si può comprendere la meccanica quantistica. Ci sono varie persone che ne sono insoddisfatte e che cercano di trovare qualcos’altro, ma nessuno ha trovato qualcosa di consistente, cosicché quando ci si riferisce all’interpretazione di Copenhagen della meccanica quantistica, ciò che realmente si intende è la meccanica quantistica. Perciò la maggioranza dei fisici non adotta questo termine, usato nella maggior parte dei casi dai filosofi.”

Sir Rudolph Peierls, intervista radiofonica pubblicata in p.c.w. Davies and j.r. Brown (eds.), The Ghost in the Atom, Cambridge University Press 1986.

Posizioni come questa presuppongono qualche forma di

strumentalismo:

Abbiamo solo bisogno di sapere se una certa teoria fisica funziona. Ogni indagine che punti a costruire una rappresentazione che idealmente ‘sta dietro’ ai fenomeni e che è in grado, almeno in linea di principio, di spiegare perché i fenomeni si comportino ‘nella realtà’ in un certo modo si pone al di fuori dei confini della fisica.

“Il chiedersi che cosa accada a un particolare fotone in determinate condizioni non ha in realtà un significato molto preciso. Per precisare il senso di tale domanda occorre immaginare qualche esperienza attinente al problema e ricercarne il risultato, poiché sono realmente significative solo le questioni che riguardano i risultati dell’esperienza e la fisica teorica si deve occupare soltanto di tali questioni. [...] Le ragioni per cui un dato fotone attraversi o no il cristallo, e il modo in cui varia la direzione della sua polarizzazione quando lo attraversa, non possono essere esaminati sperimentalmente e vanno perciò considerati estranei al dominio scientifico. Nondimeno è necessaria qualche ulteriore descrizione per mettere in correlazione i risultati di questa esperienza con quelli di altre realizzabili con fotoni, e per inquadrarli tutti in uno schema generale. Tale ulteriore descrizione non va considerata come un tentativo di rispondere a domande fuori del dominio della scienza, ma come un aiuto alla formulazione di regole atte a esprimere concisamente i risultati di un gran numero di esperienze. [...] Il principale scopo della fisica non è di fornire dei modelli, bensì di formulare delle leggi che governino i fenomeni e la cui applicazione porti alla scoperta di nuovi fenomeni. Se poi esiste un modello, tanto meglio; ma l’esistenza o no di esso è questione di secondaria importanza.”

P.A.M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, 1930

Lo strumentalismo è una posizione che ha avuto larga diffusione nella generazione di fisici teorici che potremmo definire ‘di mezzo’ (anni ‘50-60 del XX secolo): i padri fondatori, da parte loro, non ebbero alcun ritegno (con le dovute eccezioni, come Dirac) ad adottare e difendere precise posizioni filosofiche su problemi sorti durante la loro professione di fisici.

N. Bohr ® Complementarietà

W. Heisenberg ® Interpretazione ‘potenziale’ della realtà quantistica

J. von Neumann ® Problema della relazione mente-corpo

Opposto allo strumentalismo è il

realismo:

Una teoria fisica costituisce una descrizione formalmente adeguata della natura della realtà che indaga. Accettare una certa teoria comporta la credenza che si si tratti di una teoria vera, e il riconoscimento che tale teoria funziona è il principale criterio che ci autorizza a credere che essa sia vera. Una teoria non è un insieme di ricette per collegare logicamente tra loro dei fatti sperimentali, ma aspira a essere il racconto ragionevolmente fedele della realtà fisica e delle sue caratteristiche.

Da alcuni anni tuttavia il realismo ha acquisito una nuova credibilità, anche se si tratta di un realismo associato di volta in volta a interpretazioni molto diverse, e questo ha anche motivazioni sperimentali:

“Il bisogno di un’interpretazione realistica della teoria quantistica è drammaticamente evidente ai giorni nostri, nei quali si assiste in tutto il mondo a uno sforzo di portare a termine interessanti esperimenti con singoli microsistemi come atomi, neutroni, o fotoni - esperimenti che prima potevano essere concepiti soltanto come esperimenti ideali.”

P. Busch et al., Operational Quantum Physics, 1995

Ma in che senso è possibile discutere di realismo in relazione ai fondamenti della meccanica quantistica?

Anche se in generale si rifiuta lo strumentalismo come approccio ai fondamenti delle teorie fisiche, non abbiamo imparato da una serie di teoremi ‘limitativi’ (noti come no-go theorems e sviluppati a partire dagli anni ‘60) che la meccanica quantistica è incompatibile con qualsiasi forma di realismo?

È allora importante vedere in che senso, alla luce di un’interpretazione adeguata di quei teoremi e quegli argomenti, questa affermazione risulta insostenibile per due aspetti fondamentali.

Ø Negli argomenti di tipo EPR-Bohm, il realismo (espresso come ‘condizione di realtà’) non è una delle ipotesi indipendenti, ma è una conseguenza delle due ipotesi fondamentali che consentono di derivare la conclusione. Dunque è del tutto privo di significato rifiutare il valore e l’esito di quegli argomenti semplicemente rifiutando il realismo.

Ø Si continua a leggere e a sentir dire tesi come quella secondo cui il significato del teorema di Bell consiste nella ‘confutazione’ del realismo, del determinismo e delle variabili nascoste in meccanica quantistica. Risulta allora importante chiarire che il tipo di realismo presupposto da alcune interpretazioni della meccanica quantistica è completamente diverso dal tipo di realismo che viene dichiarato insostenibile dai no-go theorems.

realismo e meccanica quantistica:

lo statuto della condizione di realtà

nell’argomento di EPR

Esperimento di correlazione EPR-Bohm

Sistema S₁+S₂ di due particelle S₁ e S₂ di spin-1/2 preparato al tempo t₀ nello stato di singoletto

Y = 1/Ö2 (|1,+>_n |2,->_n - |1,->_n |2,+>_n),

dove n rappresenta una qualsiasi direzione spaziale.

Si assume che le misure di spin su S₁ e S₂ siano effettuate quando S₁ e S₂ occupano due regioni spaziotemporali R₁ e R₂ rispettivamente, che risultano isolate l’una rispetto all’altra. Sulla base delle regole della meccanica quantistica sappiamo che

· (SR) se lo stato di S₁+S₂ è Y, allora

stato (ridotto) di S₁ ® r(1,Y) = 1/2 (P_|1,+>n + P _|1,->n ),

stato (ridotto) di S₂ ® r(2,Y) = 1/2 (P_|2,+>n + P _|2,->n ),

e, per ogni n,

P_r(1,Y) (spin _n di S₁ = +1) = P_r(1,Y) (spin _n di S₁ = -1) = 1/2

P_r(2,Y) (spin _n di S₂ = +1) = P_r(2,Y) (spin _n di S₂ = -1) = 1/2

· (AC) Se si effettua a un tempo t una misura dello spin di S₁ nella direzione n e si ottiene il risultato +1, una misura dello spin di S₂ nella direzione n a un tempo t¢ > t darà con certezza il risultato - 1, cioè

P_Y [(spin _n di S₁ = +1) & (spin _n di S₂ = -1)] = 1, per ogni n.

Supponiamo ora di effettuare al tempo t₁ > t₀ una misura dello spin di S₁ e di ottenere il risultato +1. Allora, per la condizione di anticorrelazione, una misura dello spin di S₂ nella direzione n a un tempo t₂ > t₁ darà con certezza il risultato - 1.

Supponiamo ora di assumere la seguente condizione:

realtà

Se, senza interagire con un sistema fisico S, possiamo predire con certezza - o con probabilità pari a 1 - il valore q di una quantità Q relativa a S, allora q rappresenta una proprietà oggettiva di S (denotata da [q]).

Allora per t₂ > t₁ [spin _n = -1] rappresenta una proprietà oggettiva di S₂. Ma può la proprietà [spin _n = -1] di S₂ essere stata in qualche modo “creata” dalla misura dello spin su S₁?

La risposta è NO se assumiamo la seguente condizione:

località

Nessuna proprietà oggettiva di un sistema fisico S può essere influenzata da operazioni condotte su sistemi fisici isolati da S.

La condizione di località ci permette allora di asserire l’esistenza della proprietà [spin _n = -1] di S₂ anche in un tempo t¢ tale che t₀ > t¢ >t₁.

Ma al tempo t¢ lo stato di S₁+S₂ è lo stato di singoletto Y e dunque per (SR) lo stato di S₂ è lo stato ridotto

r(2,Y) = 1/2 (P_|2,+>n + P _|2,->n ),

che assegna alla proprietà [spin _n = -1] di S₂ la probabilità 1/2.

Consideriamo ora la seguente condizione:

completezza

Qualsiasi proprietà oggettiva di un sistema fisico S deve essere rappresentata all’interno della teoria fisica che descrive S.

Esistono dunque proprietà oggettive di sistemi fisici, come [spin_n = -1] per S₂, che la meccanica quantistica non rappresenta come tali e dunque la meccanica quantistica è incompleta.

Struttura logica dell’argomento

realtà

Se, senza interagire con un sistema fisico S, possiamo predire con certezza - o con probabilità pari a 1 - il valore q di una quantità Q relativa a S, allora q rappresenta una proprietà oggettiva di S (denotata da [q]).

&

località

Nessuna proprietà oggettiva di un sistema fisico S può essere influenzata da operazioni condotte su sistemi fisici isolati da S.

&

completezza

Qualsiasi proprietà oggettiva di un sistema fisico S deve essere rappresentata all’interno della teoria fisica che descrive S.

ß

contraddizione!

Vengono assegnati due stati allo stesso sistema allo stesso istante.

ß

non-completezza oppure non-realtà oppure non-località

Qual’è il problema di questo argomento?

La condizione di realtà non è una condizione indipendente, ma derivata.

Infatti

1) la condizione di anticorrelazione, cioè

Prob _Y [(spin _n di S₁ = +1) & (spin _n di S₂ = -1)] = 1, per ogni n

implica la validità della premessa della condizione di realtà, cioè la possibilità di predire con certezza - o con probabilità pari a 1 - il valore dello spin di un sistema fisico senza interagire con esso;

2) la condizione di località proibisce che proprietà come [spin _n=-1] vengano ad esistere relativamente a S₁ (S₂) come conseguenza della misura effettuata su S₂ (S₁).

L’effettiva conclusione dell’argomento è allora

compl & loc Þ contraddizione!

e dunque

Øcompl Ú Øloc

Ne consegue che l’adozione o il rifiuto preliminare del realismo - espresso nella forma della condizione di realtà - è del tutto irrilevante nell’argomento di EPR-Bohm.

In particolare, se si assume la completezza della meccanica quantistica, non è logicamente consistente la posizione di chi intenda evitare la conclusione dell’argomento adottando una posizione ‘antirealista’, dal momento che il realismo non è una premessa dell’argomento.

Inoltre, se la condizione di realtà fosse effettivamente una condizione indipendente, sarebbe possibile assumere la meccanica quantistica come una teoria completa e locale semplicemente lasciando cadere il realismo, in contraddizione con il fatto che la meccanica quantistica è una teoria non locale indipendentemente dall’argomento di EPR-Bohm.

Esempio significativo:

Argomento di EPR-Bohm secondo B. d’Espagnat, Veiled Reality. An Analysis of Present-Day Quantum Mechanical Concepts, Addison-Wesley 1995 pp.131-4.

Separabilità & Condizione di Realtà EPR & Completezza

ß

contraddizione

Tuttavia a p. 143, nell’esposizione del teorema di Bell nella forma dell’articolo di Bell del 1964, si legge:

“As may remembered, the outcome of the [EPR derivation] is that there exist elements of reality corresponding to the spin component of V (and also of U for symmetry reasons) along any direction n in space. These elements of reality, characterizing what may be called the objective state l of the pair are of course not described by the state vector of the pair [...] It is worth stressing once again that the existence of these supplementary variables is here a consequence of the premises - following from the strict correlation between the two particle spins - so that this existence does not have to be postulated.”

J.S. BELL

“Measurements can be made, say by Stern-Gerlach magnets, on selected components of the spins s₁ and s₂. If measurement of the component s₁·a, where a is some unit vector, yields the value +1 then, according to quantum mechanics, measurement of s₂·a must yield the value -1 and vice versa. Now we make the hypothesis, and it seems one at least worth considering, that if the two measurements are made at places remote from one another the orientation of one magnet does not influence the result obtained with the other. Since we can predict in advance the result of measuring any chosen component of s₂, by previously measuring the same component of s₁, it follows that the result of any such measurement must actually be predetermined.”

On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox, 1964

“It is important to note that to the limited degree to which determinism plays a role in the EPR argument, it is not assumed but inferred. What is held sacred is the principle of ‘local causality’ - or ‘no action at a distance’. [...] It is remarkably difficult to get this point across, that determinism is not a presupposition of the analysis.”

Bertlmann’s socks and the nature of reality, 1981

E in una nota a questo passo Bell scrive:

“My own first paper on this subject [l’articolo On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox del 1964] starts with a summary of the EPR paper from locality to deterministic hidden variables. But the commentators have almost universally reported that it begins with deterministic hidden variables.”

Argomento di incompletezza di Einstein

(¹ argomento di EPR: niente condizione di realtà!)

· Lettera a Schrödinger del giugno 1935,

· Lettera a Popper del novembre 1935,

· Fisica e realtà (1936)

· Meccanica quantistica e realtà (1948),

· Autobiografia scientifica (1949)

· Repliche agli autori del volume Albert Einstein: Philosopher-Scientist (1949).

Sistema composto S₁₊₂, i cui sottosistemi S₁ e S₂ si intendono non interagenti.

Assunzione fondamentale

principio di separazione = separabilità + località.

separabilità

Sistemi spazialmente separati possiedano stati fisici reali e distinti.

località

Lo stato del sistema può essere modificato solo mediante interazioni locali.

Inoltre si definisce la seguente condizione di completezza.

completezza

Esiste una corrispondenza biunivoca tra funzione d'onda Y e stato reale del sistema.

Consideriamo ora uno dei sottosistemi, poniamo S₁.

Poiché è possibile scegliere di misurare la sua posizione o la sua quantità di moto, si ha che

misura della posizione di S₁

ß

allo stato di S₂ viene attribuita una data funzione d’onda Y₂'

e

misura della quantità di moto di S₁

ß

allo stato di S₂ viene attribuita una data funzione d’onda Y₂''

Per il principio di separazione, la pluralità di funzioni d’onda associate allo stesso stato di S₂ non può dipendere da operazioni di misura condotte su S₂.

Dunque la meccanica risulta incompleta.

“Di tutti i teorici quantistici «ortodossi» di cui conosco il pensiero, quello che si avvicina di più a una esatta visione del problema mi sembra essere Niels Bohr. Tradotto nei termini che mi sono propri, il suo ragionamento è il seguente. Se i sistemi parziali A e B formano un sistema totale che è descritto dalla sua funzione Y, cioè dalla Y_AB, non c'è ragione di attribuire un'esistenza reciprocamente indipendente (stato di realtà) ai sistemi parziali A e B considerati separatamente, neppure se i sistemi parziali sono separati spazialmente l'uno dall'altro nel momento particolare che viene considerato. Dire che, in quest'ultimo caso, la reale situazione di B non possa essere (direttamente) influenzata da nessuna operazione di misura compiuta su A è quindi, nel quadro della teoria quantistica, un'affermazione infondata e (come dimostra il paradosso) inaccettabile.

Considerando la questione in questo modo, risulta evidente che il paradosso ci costringe ad abbandonare una delle due seguenti affermazioni:

1) la descrizione compiuta per mezzo della funzione Y è completa,

2) gli stati reali di oggetti spazialmente separati sono indipendenti l'uno dall'altro.

D'altra parte, se si considera la funzione Y come la descrizione di un insieme (statistico) di sistemi, e quindi si abbandona la 1), è possibile ammettere la 2). Ma questo spezza il quadro della «teoria ortodossa».”

A. Einstein, Autobiografia scientifica, 1949

Non località e disuguaglianza di Bell

Cenno storico (importante!)

No-go Theorems (von Neumann, Gleason, Jauch-Piron):

qualsiasi ipotesi di completamento deterministico della MQ è incompatibile con la struttura matematica della MQ stessa.

Bell 1963 (articolo pubblicato nel 1966):

i teoremi di cui sopra valgono per una particolare classe di teorie a variabili nascoste, quelle non contestuali. L’interpretazione di Bohm non ricade in questa classe e non viene esclusa dai teoremi di cui sopra.

La meccanica di Bohm è non locale: si tratta di una caratteristica specifica di questa interpretazione oppure ogni teoria che preservi le predizioni statistiche della MQ è tenuta a manifestare una forma di non località?

Bell 1964:

La seconda che hai detto! (Teorema di Bell)

Situazione nota: esperimento EPR-Bohm con un sistema composto S₁+S₂ di due particelle S₁ e S₂ di spin-1/2 preparato a un certo tempo t₀ nello stato di singoletto.

Si introducono le variabili

X⁽¹⁾_a ®{1,-1}

X⁽²⁾_b ®{1,-1}

dove a, b stanno genericamente per tre direzioni a, b, c nello spazio, e si assume di poter definire la probabilità che X⁽¹⁾_a ( o X⁽²⁾_b) assuma il valore 1 (o il valore -1), indicata con

p(X⁽¹⁾_a = ±1)

L’espressione p(X⁽¹⁾_a = ± X⁽²⁾_b) indica naturalmente la probabilità che X⁽¹⁾_a e X⁽²⁾_b concordino o meno sul valore assunto.

Si assume poi la seguente condizione

Località

X⁽¹⁾_a non dipende da b

X⁽²⁾_b non dipende da a

A questo punto, sulla base della condizione quantistica di anticorrelazione

X⁽¹⁾_a = - X⁽²⁾_a

è possibile derivare

p(X⁽¹⁾_a = - X⁽²⁾_b) + p(X⁽¹⁾_b = - X⁽²⁾_c) + p(X⁽¹⁾_c = - X⁽²⁾_a)

= p(X⁽¹⁾_a = X⁽¹⁾_b) + p(X⁽¹⁾_b = X⁽¹⁾_c) + p(X⁽¹⁾_c = X⁽¹⁾_a)

³ p(X⁽¹⁾_a = X⁽¹⁾_b) È p(X⁽¹⁾_b = X⁽¹⁾_c) È p(X⁽¹⁾_c = X⁽¹⁾_a)

= p(evento certo) = 1

da cui

p(X⁽¹⁾_a = - X⁽²⁾_b) + p(X⁽¹⁾_b = - X⁽²⁾_c) + p(X⁽¹⁾_c = - X⁽²⁾_a) ³ 1 (B)

Se ora sostituiamo a X⁽¹⁾_a la corrispondente espressione per l’osservabile di spin, otteniamo

p(X⁽¹⁾_a = - X⁽²⁾_b) = p(X⁽¹⁾_b = - X⁽²⁾_c) = p(X⁽¹⁾_c = - X⁽²⁾_a) = 1/4

da cui consegue

p(X⁽¹⁾_a = - X⁽²⁾_b) + p(X⁽¹⁾_b = - X⁽²⁾_c) + p(X⁽¹⁾_c = - X⁽²⁾_a) = 3/4 < 1

Riassumendo

Località ® B

MQ ® Ø B

dunque

Ø Località

Se p(X⁽¹⁾_a,X⁽²⁾_b) denota la probabilità congiunta, si ha per le corrispondenti probabilità della MQ

p_MQ (X⁽¹⁾_a , X⁽²⁾_b) ¹ p_MQ (X⁽¹⁾_a ) p_MQ (X⁽²⁾_b)

I risultati di misura sono correlati ® Dipendenza superluminale!

Infatti:

1) secondo la MQ ordinaria, le proprietà di spin non sono predeterminate alla sorgente;

2) le regioni nelle quali le misure sono localizzate sono separate da un intervallo di tipo spazio.

® Fraintendimenti su 1)

Born (ma anche Gell-Mann, Il quark e il giaguaro)

“Born had particular difficulty with the EPR argument. Here is his summing up, long afterwards, when he edited the Born-Einstein correspondence.

The root of the difference between Einstein and me was the axiom that events which happen in different places A and B are independent of one another, in the sense that an observation on the state of affairs at B cannot teach us anything about the state of affairs at B.

Misunderstanding could hardly be more complete. Einstein had no difficulty accepting that affairs in different places could be correlated. What he could not accept was that an intervention at one place could influence, immediately, affairs at the other.”

J.S. Bell, Bertlmann socks and the nature of reality

Generalizzazione ® |X⁽¹⁾_a|, |X⁽²⁾_b| £ 1

È possibile indagare la possibilità di “completare” la MQ introducendo una variabile l tale che la probabilità congiunta p(X⁽¹⁾_a , X⁽²⁾_b| l) soddisfi

p(X⁽¹⁾_a , X⁽²⁾_b| l) = p(X⁽¹⁾_a | l) p(X⁽²⁾_b| l) (L)

e sia tale che

p_MQ(X⁽¹⁾_a , X⁽²⁾_b) = ò p(X⁽¹⁾_a , X⁽²⁾_b| l)r(l)dl,

dove r(l) denota la distribuzione di l..

Ø Intuitivamente, l rappresenta la specificazione completa degli eventi causalmente rilevanti per i risultati X⁽¹⁾_a e X⁽²⁾_b.

Ø La variabile l codifica dunque l’influenza degli eventi che sono localizzati nell’intersezione dei coni di luce passati degli eventi di misura di X⁽¹⁾_a e X⁽²⁾_b.

Ø Allora è ragionevole considerare (L) come una condizione di località, secondo la quale l “separa” statisticamente l’evento di misura di X⁽¹⁾_a dall’evento di misura di X⁽²⁾_b.

“Could it not be that QM is a fragment of a more complete theory, in which there are other ways of using the given beables, or in which there are additional beables - hitherto ‘hidden’ beables? And could it not be that this more complete theory has local causality [la condizione (L)]? Quantum mechanical predictions would then apply not to given values of all the beables, but to some probability distribution over them, in which the beables recognized as relevant by quantum mechanics are held fixed. We will investigate this question and answer it in the negative.”

J.S. Bell, The theory of local beables

Si dimostra dunque che la condizione (L) implica una disuguaglianza

|E(a, b) + E(a, b¢) + E(a¢, b) - E(a¢, b¢)| £ 2

dove E(a, b) = p(X⁽¹⁾_a = X⁽²⁾_b) - p(X⁽¹⁾_a = - X⁽²⁾_b), mentre per

a = 0°, a¢ = 90°, b = 45°, b¢ = - 45°

si ottiene per la corrispondente espressione quantistica

|E_MQ (a, b) + E_MQ (a, b¢) + E_MQ (a¢, b) - E_MQ (a¢, b¢)| = 2Ö2 .

Generalità dell’argomento

“Despite my insistence that the determinism was inferred rather than assumed, you might still suspect somehow that it is a preoccupation with determinism that creates the problem. Note well that the following argument makes no mention whatever of determinism […]

Finally you might suspect that the very notion of particle, and particle orbit has somehow led us astray […] So the following argument will not mention particles, nor indeed fields, nor any particular picture of what goes on at the microscopic level. Nor will it involve any use of the words ‘quantum mechanical system”, which can have an unfortunate effect on the discussion. The difficulty is not created by any such picture or any such terminology. It is created by the predictions about the correlations in the visible outputs of certain conceivable experimental set-ups.”

J.S. Bell, Bertlmann socks and the nature of reality

* Condizione critica: “Località causale” (J.S. Bell), cioè (L).

* “Località causale” ®

La probabilità congiunta - condizionata rispetto a l - si fattorizza.

Inoltre (J. Jarrett, On the physical significance of the locality condition in the Bell arguments, Noûs 18 (1984), 569-589)

p(X⁽¹⁾_a , X⁽²⁾_b| l) = p(X⁽¹⁾_a | l) p(X⁽²⁾_b| l)

se e solo se

p(X⁽¹⁾_a , l) = p(X⁽¹⁾_a, l | X⁽²⁾_*), p(X⁽²⁾_b , l) = p(X⁽²⁾_b , l | X⁽¹⁾_*)

“Parameter Independence”

&

p(X⁽¹⁾_a , l | X⁽²⁾_b) = p(X⁽¹⁾_a, l), p(X⁽²⁾_b , l| X⁽¹⁾_a) = p(X⁽²⁾_b, l)

“Outcome Independence”

Se [(L) se e solo se PI & OI] allora [Ø(L) se e solo se ØPI Ú ØOI]

Discussione sulle conseguenze ® tesi della “coesistenza pacifica” tra MQ e relatività speciale (A. Shimony, Controllable and uncontrollable non-locality, 1984):

Violazione di PI ® Non località “controllabile”: azione a distanza!

Violazione di OI® Non località “incontrollabile”: nessuna azione a distanza!
causalità locale:

“My intuitive notion of local causality is that events in 2 should not be ‘causes’ of events in 1, and vice versa.” (Bell, The theory of local beables).

Ma in conseguenza del teorema di Bell

“it may be that we have to admit that causal influence do go faster than light. The role of Lorentz invariance in the completed theory would then be very problematic. An ‘ether’ would be the cheapest solution. But the unobservability of this aether would disturbing. So would the impossibility of ‘messages’ faster than light, which follows from ordinary relativistic quantum mechanics in so far as it is unambiguous and adequate for procedures we can actually perform. The exact elucidation of concepts like ‘message’ and ‘we’ would be a formidable challenge.”

J.S. Bell, Bertlmann socks and the nature of reality

LOOPHOLES (Verifica sperimentale delle disuguaglianze di Bell)

* Problema dell’efficienza

“The obvious definition of ‘local causality’ does not work in QM and this cannot be attributed to the incompleteness of the theory. Experimenters have looked to see if the relevant predictions of QM are in fact true. The consensus is that QM works excellently, with no sign of an error of Ö2. It is often said then that experiment has decided against the locality inequality. Strictly speaking this is not so. The actual experiments depart too far from the ideal, and only after the various deficiencies are ‘corrected’ by theoretical extrapolation do the actual experiments become critical. There is a school of thought [Ferrero, Marshall, Pascazio, Santos, Selleri] which stresses this fact, and advocates the idea that better experiments may contradict QM and vindicate locality. I do not myself entertain this hope. I am too impressed by the quantitative success of QM, for the experiments already done, to hope that it will fail for more nearly ideal ones.”

J.S. Bell, La nouvelle cuisine, in A. Sarlemijn, P. Kroes (eds.), Between Science and Technology, Elsevier 1990

* Prism models (Fine, Szabo)

“Distinction must be made between the low detection/emission efficiency caused by the random errors in the analyzer+detector equipment and the low efficiency that is a systematic manifestation of certain (hidden) properties of the emitted particles. […]

We do not expect that quantum mechanics will fail badly when sufficient refinements are made, but rather that there are principal limits in acheving such refinements.”

L.E. Szabo, Contextuality without contextuality, Reports on Philosophy (2000)

Apparati ‘realistici’ ® ensemble selezionato: si prendono in considerazione soltanto le coppie di sistemi che attivano in coincidenza i rivelatori.

Si pone

[A] = evento rappresentato da una rivelazione dopo il passaggio attraverso un analizzatore con direzione a.

[B] = evento rappresentato da una rivelazione dopo il passaggio attraverso un analizzatore con direzione b.

[A]Ù[B] = evento rappresentato da una rivelazione in coincidenza dopo il passaggio attraverso i rispettivi analizzatori con direzione a e b.

Ciò che si osserva è la violazione della disuguaglianza

-1 £ p(AÙB|aÙb Ù[A]Ù[B])+ p(AÙB¢|aÙb¢ Ù[A]Ù[B¢])-

- p(A¢ÙB|a¢Ùb Ù[A¢]Ù[B])+ p(A¢ÙB¢|a¢Ùb¢ Ù[A¢]Ù[B¢]) -

- p(A¢|a¢Ù[A¢]) - p(B|bÙ[B]) £ 0 (CH_S)

Se si assume che la selezione sia completamente casuale, allora è ragionevole assumere anche la condizione (detta enhancement hypothesis)

p(AÙB|aÙb Ù[A]Ù[B]) = p(AÙB|aÙb), (E)

da cui discende la disuguaglianza

-1 £ p(AÙB|aÙb) + p(AÙB¢|aÙb¢) - p(A¢ÙB|a¢Ùb) + p(A¢ÙB¢|a¢Ùb¢) -

- p(A¢|a¢) - p(B|b) £ 0 (CH)

Tuttavia è possibile ipotizzare che esista una variabile “nascosta” che determina le modalità della selezione (A. Fine & L.E. Szabo).

In questo caso non sarebbe ragionevole assumere la condizione E: ma allora

E Þ (se ØCH_S allora ØCH)

Importante: la conclusione di Fine & Szabo è indipendente dal problema della bassa efficienza dei rivelatori:

“A prism model is a local deterministic hidden variable theory, in which the hidden variables predetermine not only the outcomes of the corresponding measurements, but also predetermine whether or not an emitted particles arrives to the detector and becomes detected. In other words, the measured observables can take on a new “value” corresponding to an inherent ‘no show’ or defectiveness.”

L.E. Szabo, On Fine’s resolution of the EPR-Bell problem, Found. Phys. (2000)

intermezzo:

causalità e meccanica quantistica

Nella fisica moderna si è tacitamente presupposto che

validità di un principio di causalità

per ogni evento a esiste un evento fisico b che

[è causa di], [produce], [determina], ..., a

=

validità del determinismo

In realtà

determinismo ¹ causalità

determinismo ® modalità di evoluzione degli stati di un sistema fisico in funzione del tempo e di certe particolari condizioni presenti a un certo istante ‘iniziale’.

Stato iniziale s(t₀) + legge dinamica ® Stato s(t),

dove s(t) esiste ed è unico. Se la legge dinamica è invariante per inversione temporale, allora t può essere sia successivo a t₀ sia precedente a t₀.

causalità ® particolare relazione di dipendenza regolare tra (classi di) eventi

Su cosa si fonda la sovrapposizione tra determinismo e causalità?

Sull’idea di necessità.

determinismo

Lo stato s(t₀) determina (attraverso adeguate leggi dinamiche) lo stato del sistema a un qualsiasi istante diverso da t₀.

Se riteniamo di aver specificato s(t₀) e a un istante diverso da t₀ lo stato del sistema non è quello che prescriverebbe la legge dinamica, siamo indotti a ritenere che la nostra specificazione di s(t₀) non era in realtà completa.

causalità

Data una relazione causale tra due eventi a e b, il verificarsi di b determina il verificarsi di a.

Se riteniamo di aver accertato il verificarsi di b e non accertiamo il verificarsi di a, allora siamo indotti a ritenere che eventi a noi sconosciuti si siano ‘interposti’ all’azione causale di b.

Ma in generale il determinismo non implica una relazione di causalità

“causa” di s(t₁)? “causa” di s(t₂)? ..........

| |

s(t₀) ® s(t₁) ® s(t₂)

| |

...... “effetto” di s(t₀)? “effetto” di s(t₁)?

Una relazione di causalità non implica il determinismo

Per ogni evento fisico a esiste un evento fisico b tale che b è causa di a

non implica

I sistemi fisici che sono dotati di quelle proprietà esemplificate da a e b manifestano una dinamica deterministica

Non soltanto si è assunta l’equivalenza

causalità Û determinismo

ma anche l’equivalenza

determinismo Û predicibilità

“Dovremmo considerare lo stato presente dell’universo come l’effetto del suo stato antecedente e la causa del suo stato successivo. Un’intelligenza che conoscesse tutte le forze operanti in natura in un dato istante e le posizioni istantanee di tutte le cose dell’universo, sarebbe in grado di comprendere in un’unica formula i moti dei più grandi corpi e quelli dei più leggeri atomi al mondo, a condizione che il suo intelletto fosse sufficientemente potente da sottoporre ad analisi tutti i dati: per tale intelligenza, niente sarebbe incerto, il futuro e il passato sarebbero presenti davanti ai suoi occhi.”

P.S. Laplace, Saggio filosofico sulle probabilità, 1814

“Il determinismo scientifico è la dottrina secondo la quale lo stato di qualsiasi sistema fisico chiuso a qualsiasi istante futuro può essere predetto, anche dall’interno del sistema, con qualsiasi grado specificato di precisione, deducendo la predizione dalle teorie, in congiunzione con condizioni iniziali il cui grado di precisione richiesto può essere sempre calcolato.”

K.R. Popper, L’universo aperto, 1982

Dunque si è assunto che

causalità Û determinismo Û predicibilità

“L’impossibilità di misurare esattamente tutti i dati di uno stato impedisce la predeterminazione dello svolgimento successivo. Di conseguenza, il principio di causalità perde, nella sua comune formulazione, ogni senso. Infatti, se è impossibile per principio conoscere tutte le condizioni (cause) di un processo, diventa un modo di dire vuoto che ogni evento ha una causa.”

M. Born, 1929

“[...] «causalità» non è che un altro termine per indicare l’esistenza di una legge. Il contenuto del principio di causalità è costituito evidentemente dall’affermazione che tutto nel mondo si svolge secondo leggi; è dunque la stessa identica cosa se asseriamo la validità del principio di causalità o la sussistenza del determinismo.”

M. Schlick, La causalità nella fisica contemporanea, 1931

“Sulla base del principio di indeterminazione, perde ogni legittimità il dire che lo stato di un sistema potrebbe essere accertato ogni volta con la massima precisione mediante una misurazione. Dato però che una simile determinazione costituisce il presupposto dell’applicazione rigorosa del principio di causalità, ne segue che la scienza moderna deve rinunciare alla validità ineccepibile di questo principio. Essa deve accontentarsi di fare previsioni probabili: non è più rigidamente deterministica.”

M. Schlick, Lineamenti di filosofia della natura, 1948 (postumo)

determinismo in meccanica classica e quantistica

Meccanica classica

· L’insieme dei possibili stati di un sistema classico C è rappresentato da uno spazio astratto S, in cui ogni elemento è costituito da una coppia di valori di posizione e velocità.

· Se oltre allo stato iniziale di C conosciamo la sua massa m e l’eventuale forza F che agisce su di esso, possiamo descrivere l’evoluzione di C nel futuro (e nel passato!) mediante le equazioni newtoniane del moto.

· Una traiettoria g nello spazio S rappresenta dunque una “storia” di C.

· La formulazione matematica delle equazioni newtoniane del moto comporta l’esistenza e l’unicità delle g, noto lo stato iniziale e le forze operanti sul sistema in esame.

Meccanica quantistica

· L’insieme dei possibili stati di un sistema quantistico Q è rappresentato da uno spazio astratto H i cui elementi (vettori di stato) - pur non essendo coppie di valori di quantità dinamiche - sono indirettamente connessi alle quantità misurabili su Q, dal momento che prescrivono la probabilità di ottenere uno dei possibili valori di una quantità specificata qualora si effettui una misura.

· L’evoluzione di un vettore di stato è descritta dall’equazione di Schrödinger, che risulta un’equazione perfettamente deterministica.

Dunque

In assenza di misure, sia la meccanica classica sia la meccanica quantistica soddisfano una condizione di determinismo dinamico.

Da dove nasce allora l’indeterminismo in meccanica quantistica? Dalla violazione di quella condizione che potremmo definire determinismo (o determinatezza) delle proprietà:

Se disponiamo di una conoscenza massimale dello stato di un sistema fisico, le probabilità di ottenere un risultato nella misura di una data quantità fisica rilevante per il sistema sono limitate ai soli valori 0 e 1.

In meccanica quantistica invece, la specificazione di uno stato puro di un sistema (uno stato che rappresenta cioè una quantità massimale di informazione sul sistema stesso) determina probabilità di risultati di misura che in generale risultano diverse da 0 o da 1.

Dopo aver accertato che un’indagine sul ruolo della causalità in MQ non è di per sé contraddittoria, possiamo porre la seguente questione:

in che senso è possibile - se è possibile - interpretare la dipendenza superluminale tra risultati come una relazione autenticamente causale?

Una possibile opzione:

Principio di causa comune (H. Reichenbach, The Direction of Time, 1956)

Intuizione fondamentale: per ogni correlazione non accidentale tra due eventi distinti, tra i quali non sussiste alcuna relazione causale diretta, esiste una causa comune che rende i due eventi probabilisticamente indipendenti l’uno dall’altro.

Principale motivazione filosofica originaria: sviluppare una nozione di causalità probabilistica.

Sia (S, m) uno spazio di probabilità classico, dove S è un’algebra di Boole di eventi e m è una misura di probabilità su S. Per A,B Î S, se

m(A ÇB) > m (A) m (B) (1)

gli eventi A e B si dicono positivamente correlati. Un evento CÎ S è detto causa comune della correlazione (1) se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

m(A ÇB|C) = m(A|C) m(B|C) (2)

m(A ÇB|C^{^}) = m(A|C^{^}) m(B|C^{^}) (3)

m(A|C) > m(A|C^{^}) (4)

m(B|C) > m(B|C^{^}) (5)

dove m(X|Y) rappresenta la probabilità condizionata di X dato Y, X^{^} denota il complemento di X e tutte le probabilità (2)-(5) sono diverse da 0.

Teorema (Reichenbach 1956)

(2)-(5) Þ (1): se tre eventi qualsiasi A, B, C soddisfano (2)-(5), allora esiste tra A e B una correlazione nel senso di (1).

Problema: Le correlazioni quantistiche possono essere spiegate in senso causale mediante un’analisi che adotti il principio di causa comune?

Sulla base di

* J.F.Clauser, M.A.Horne, Experimental Consequences of Objective Local Theories, Physical Review D10 (1974), pp. 526-35),

* B. van Fraassen, The Charibdis of realism: epistemological implications of Bell’s inequality, Synthese 52 (1982), pp. 25-38,

si dimostra che

Principio di causa comune Þ L Þ Disuguaglianza CH

e dunque le correlazioni quantistiche non sembrano spiegabili in termini di cause comuni.

Tuttavia, secondo altre definizioni del problema, la questione non è affatto decisa. Introduciamo infatti la seguente definizione:

Sia (S, m) uno spazio di probabilità classico, dove S è un’algebra di Boole di eventi e m è una misura di probabilità su S.

Assumiamo che {A_i, B_i} sia un insieme di coppie di eventi correlati, cioè tali che m(A_i Ç B_i) > m (A_i) m (B_i) per ogni i e anche che S non contenga cause comuni C_i delle suddette correlazioni.

È possibile estendere lo spazio (S, m) a uno spazio (S¢, m¢) in modo che, per ogni coppia correlata (A_i, B_i), lo spazio esteso (S¢, m¢) contenga la loro causa comune?

Se è possibile, lo spazio (S, m) è detto PCC-completabile rispetto all’insieme dato di correlazioni.

Rispetto a questa definizione, si dimostra che anche gli spazi di probabilità quantistici - oltre a quelli classici - sono PCC-completabili rispetto all’insieme delle correlazioni date.

G. Hofer-Szabo, M. Redei, L. Szabo:

* “On Reichenbach’s Common Cause Principle and Reichenbach’s Notion of Common Cause”, British Journal for the Philosophy of Science 50 (1999) pp. 377-9-9,

* “Reichenbach’s Common Cause Principle: Recent Results and Open Questions”, Reports on Philosophy 20 (2000), pp. 85-108.

causalità, non località e invarianza di Lorentz

Condizione (L) ® Generica ‘assenza di influenze a distanza’

2 problemi:

1) Non località causale e spaziotempo relativistico.

2) Interpretazione della non località causale come relazione tra eventi singoli.

Il modello stocastico nel quale si assume (L) è vago su entrambi i problemi!

Problema 2): rimanda a un approccio singolarista alla causalità.

“The cause of a particular event [is defined] in terms of but a single occurrence of it, and thus in no way involves the supposition that it, or one like it, ever has occurred before or ever will again.

The supposition of recurrence is thus wholly irrelevant to the meaning of cause; the supposition is relevant only to the meaning of law. And recurrence becomes related at all to causation only when a law is considered which happens to be a generalization of facts themselves individually causal to begin with […]

The causal relation is essentially a relation between concrete individual events; and it is only so far as these events exhibit likeness to others, and can therefore be grouped with them into kinds, that it is possible to pass from individual causal facts to causal laws.”

C.J. Ducasse, On the nature and observability of the causal relation, Journal of Philosophy 23 (1926)

Motivazione per un approccio ‘singolarista’ alla relazione tra non località e causalità:

se esiste una causalità microfisica ‘non convenzionale’, essa deve comunque essere concepita come un processo che coinvolge singoli eventi e che - in qualche senso - vive nello spaziotempo.

Quali condizioni dovrebbe allora soddisfare questa causalità ‘non convenzionale’?

Secondo una terminologia introdotta da Tim Maudlin (Quantum Non Locality and Relativity, 1994, 2002²), gli eventi di misura correlati si implicano causalmente a vicenda.

Poiché tuttavia le regioni spaziotemporali dove gli eventi di misura sono localizzati sono separate da un intervallo di tipo spazio, l’ordine temporale dei due eventi dipende dal sistema di riferimento: come interpretare allora la nozione di implicazione causale alla luce di questa circostanza?

Due opzioni:

(1) la distinzione stessa causa-effetto non è applicabile alle situazioni di tipo EPR.

(Obiezione: perché parlare allora di implicazione ‘causale’?)

(2) È l’ordinamento temporale associato al sistema di riferimento che definisce qual’è la causa e qual’è l’effetto.

(Obiezione: troppo debole!)

Relazione con il processo di riduzione (collasso):

Riduzione ® processo mediante il quale proprietà di sistemi quantistici si ‘attualizzano’

Non località® ‘attualizzazione’ di proprietà relative a sistemi correlati

Risulta allora rilevante la domanda:

se il processo di riduzione è un processo fisico reale, dove avviene?

L’ipersuperficie sulla quale si assume avvenga il collasso può essere scelta arbitrariamente, poiché questa scelta non influisce sulle distribuzioni di probabilità delle osservabili:

“it appears that either causality or Lorentz covariance of wave functions must be sacrificed [...] Covariance seems the smaller sacrifice, since it is apparently not required for the calculation of invariant probabilities.” (I. Bloch, Some relativistic oddities in the quantum theory of observation, Physical Review 156 (1967) 1377-1384)

Proposta di Bloch consistente con il punto (2): è l’ordinamento temporale associato a un qualsiasi sistema di riferimento adottato che definisce qual’è la causa e quale l’effetto.

Obiezione fondamentale: se ci restringe alle distribuzioni di probabilità, la MQ soddisfa comunque una condizione di località statistica, cioè in un tipico esperimento di correlazione EPR il valor medio di una certa osservabile di spin relativa a un sottosistema è indipendente da qualsiasi operazione effettuata sul secondo sottosistema (cfr. p. es. P. Eberhard, Bell's theorem and the different concepts of locality, Nuovo Cimento 46B (1978), 392-419.)